Common Lisp の倍精度浮動小数点数の変換と表示（double-float）

1. `float` だと精度が足りないことがある

プログラミングの問題で分数や無理数を出力するとき、小数表示が必要になります。
このとき、誤答の原因として精度の不足があります。

AtCoder の問題で float を使ったら不正解（WA）になり、double-float に変えることで正解（AC）になりました。

(float 1/3)
; => 0.33333334

(float (/ 1 3) 1.0d0)
; => 0.3333333333333333d0

(coerce 1/3 'double-float)
; => 0.3333333333333333d0Code language: Lisp (lisp)

(float x) は、引数ひとつで呼ぶと、*read-default-float-format* の初期値が single-float なので単精度（有効桁数がおよそ 7 桁）に変換されます¹。
問題は「絶対誤差または相対誤差が 10⁻⁹ 以下」を要求していたので、 7 桁では足りませでした。
倍精度の 64 ビット形式なら有効桁数が約 16 桁になるので、この要件を満たせます。

1.1. 浮動小数点数の型と精度

Common Lisp の浮動小数点型は 4 種類あります。

型	精度の目安	リテラル例
`short-float`	約 7 桁	`1.0s0`
`single-float`	約 7 桁	`1.0f0` / `1.0`
`double-float`	約 16 桁	`1.0d0`
`long-float`	実装依存	`1.0l0`

単精度は IEEE 754 の 32 ビット形式で、有効桁数がおよそ 7 桁しかありません²。

2. 倍精度小数のリテラル（d0）

リテラルとして書くときは指数部に d を付けます³。

0.0d0   ; double-float のゼロ
1.0d0   ; double-float の 1Code language: Lisp (lisp)

2.1. `double-float` への変換方法（coerce）

;; 分数 → single-float（NG）
(float (/ 3 7))           ;=> 0.42857143  （7桁程度）

;; 分数 → double-float（OK）
(float (/ 3 7) 1.0d0)           ;=> 0.42857142857142855d0
(coerce (/ 3 7) 'double-float)  ;=> 0.42857142857142855d0Code language: Lisp (lisp)

(float x 1.0d0) という書き方があります。
第 2 引数にプロトタイプを渡すと、その型に合わせて変換してくれます。

あるいは、分数から変換するには coerce を使います⁴。

3. 出力で `d0` を消す方法（format “~f”）

double-float を ~a や princ で出力すると、末尾に d0 が付いてしまいます。

(princ 0.42857142857142855d0)
;=> 0.42857142857142855d0   ← ジャッジが読めないCode language: Lisp (lisp)

format の ~f ディレクティブを使うと、d0 なしの十進小数として出力できます⁵。

(format t "~f" 0.42857142857142855d0)
;=> 0.42857142857142855Code language: Lisp (lisp)

競プロのコードでは (format t "~f" result) が定番です。
桁数を明示したい場合は ~,15f のように書くと小数点以下 15 桁で出力できます。
問題の要求精度がシビアなときに使えます。

3.1. 【補足】デフォルトは単精度

このデフォルト値が single-float のままになっている背景には歴史的な事情があります。

Common Lisp の標準が策定された時代、Symbolics 社のハードウェアが単精度を直接即値として扱えたのに対し、倍精度はそうではありませんでした。
その速度差が仕様に影響を残しています⁶。
現在の SBCL では速度差はほぼなく、標準仕様として固定されているためデフォルトは変わっていません。

4. まとめ

小数の精度が求められる問題では、次の 3 点を押さえておけば対処できます。

変換には (coerce x 'double-float) または (float x 1.0d0) を使う
リテラルは 1.0d0 のように d を付けて書く
出力は (format t "~f" x) で d0 サフィックスを取り除く

Common Lisp は分数を正確に保持できるので、計算の最後だけ coerce する書き方が自然です。
(/ 1 3) は計算の途中でずっと分数 1/3 のまま扱われ、coerce を呼んだ瞬間にはじめて浮動小数点数に変換されます⁷。
他の言語で 1.0 / 3 と書いた時点で精度が落ちるのとは異なる動きです。

*read-default-float-format* の初期値は single-float。指数マーカーが e または E のリテラルもこの設定に従います。 – CLHS: Variable READ-DEFAULT-FLOAT-FORMAT
単精度浮動小数点は有効桁数が約 7 桁、倍精度は約 16 桁。定数 single-float-epsilon と double-float-epsilon で各精度の限界を確認できます。 – The Common Lisp Cookbook – Numbers
指数マーカー s/S が short-float、f/F が single-float、d/D が double-float、l/L が long-float に対応します。マーカーを省略した場合や e/E を使った場合は *read-default-float-format* の設定に従います。 – CLHS: 2.3.2.2 Syntax of a Float
coerce は第 1 引数のオブジェクトを第 2 引数の型に変換します。result-type が double-float の場合、実数を符号と大きさを保ったまま倍精度に変換します。変換が不可能な場合は type-error を発生させます。 – CLHS: Function COERCE
~f は Fixed-Format Floating-Point ディレクティブ。完全な書式は ~w,d,k,overflowchar,padcharF で、w が全体幅、d が小数点以下の桁数です。パラメータをすべて省略すると可変幅で出力され、d0 などの型サフィックスは付きません。 – CLHS: 22.3.3.1 Tilde F: Fixed-Format Floating-Point
Symbolics 社のコンパイラは単精度を即値として扱えたが倍精度は不可だったため、単精度演算の方が大幅に高速だった。この経緯が *read-default-float-format* のデフォルトが single-float のまま固定された背景のひとつとされています。 – Two understandable deficiencies in Common Lisp
Common Lisp の ratio 型は分子と分母の整数ペアとして正確に保持されます。coerce や float を呼ぶまで浮動小数点への変換は起きないため、途中の計算で精度が落ちません。 – The Common Lisp Cookbook – Numbers

1. float だと精度が足りないことがある